Diagramas de Venn e Operações entre Conjuntos

Em bancos relacionais, UNION, INTERSECT e EXCEPT correspondem, respectivamente, à união, à interseção e à diferença (veja a documentação do PostgreSQL sobre esses operadores). Em motores de busca, OR amplia o conjunto de resultados, AND o restringe e a exclusão com - remove os termos indesejados.

Considere \(U = \mathbb{N}\), \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid 10 \leq x \leq 100\}\) e \(B = \{x \in \mathbb{N} \mid 15 \leq x \leq 50\}\).

Como todo elemento de \(B\) também pertence a \(A\), temos \(B \subset A \subset U\). Em um diagrama de Venn, o círculo de \(B\) fica inteiramente dentro do círculo de \(A\), que por sua vez está dentro do retângulo \(U\):

Se \(A = \{1,2,3,4,5,6\}\) e \(B = \{5,6,7,8,9\}\), então os elementos \(5\) e \(6\) ficam na interseção \(A \cap B\), enquanto \(1,2,3,4\) ficam apenas em \(A\) e \(7,8,9\) apenas em \(B\). A união junta todas essas regiões, resultando em:

Se \(A = \{1,2,3\}\) e \(B = \{7,8,9\}\), então \(A \cap B = \emptyset\): os círculos ficam isolados no universo \(U\), sem sobreposição. Ainda assim, a união é formada por todos os elementos que estão em \(A\) ou em \(B\):

Considere, em um universo \(U\) de pessoas medidas:

Todo elemento de \(W\) também pertence a \(Z\), então \(W \subseteq Z\). Logo:

Em SQL, a união corresponde ao operador UNION, que combina os resultados de duas consultas eliminando duplicatas. A consulta abaixo retorna todos os clientes de SP ou do RJ — exatamente \(A \cup B\):

SELECT id FROM clientes WHERE estado = 'SP'
UNION
SELECT id FROM clientes WHERE estado = 'RJ'

Se \(A = \{1,2,3,4,5,6\}\) e \(B = \{5,6,7,8,9\}\), apenas os elementos comuns aos dois conjuntos entram na interseção:

Se \(A = \{1,2,3\}\) e \(B = \{7,8,9\}\), os conjuntos não compartilham elementos, então:

Considere, em um universo \(U\) de pessoas medidas:

Como \(W \subseteq Z\), todo elemento de \(W\) já está em \(Z\). Portanto:

A interseção corresponde ao operador INTERSECT. A consulta abaixo retorna apenas os clientes que compraram tanto em janeiro quanto em fevereiro — exatamente \(A \cap B\):

SELECT cliente_id FROM vendas WHERE mes = 1
INTERSECT
SELECT cliente_id FROM vendas WHERE mes = 2

Se \(A = \{1,2,3,4,5,6\}\) e \(B = \{5,6,7,8,9\}\):

Se \(A = \{1,2,3\}\) e \(B = \{7,8,9\}\), então \(A \cap B = \emptyset\), e:

Quando os conjuntos são disjuntos, o subtraendo não remove nenhum elemento do minuendo, então a diferença é sempre igual ao próprio minuendo (o lado esquerdo da operação): \(A - B = A\) e \(B - A = B\). Nos diagramas, a região destacada é o círculo inteiro do minuendo:

Considere, em um universo \(U\) de pessoas medidas:

Como \(W \subseteq Z\), temos:

A diferença corresponde ao operador EXCEPT. Um uso clássico é identificar registros presentes em uma tabela mas ausentes em outra — por exemplo, usuários que se cadastraram mas ainda não realizaram nenhuma compra (\(A - B\)):

SELECT id FROM usuarios
EXCEPT
SELECT DISTINCT usuario_id FROM pedidos

• \(U = \mathbb{N}\), \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \leq 50\}\) → \(\bar{A} = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 50\}\)
• \(U = \mathbb{Z}\), \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x > 2\}\) → \(\bar{A} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2\}\)
• \(U = \mathbb{N}\), \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 2\}\) → \(\bar{A} = \{1, 2\}\)

O complemento aparece sempre que se exclui um subconjunto do universo. A consulta abaixo retorna todos os usuários sem assinatura ativa — o complemento do conjunto dos assinantes:

SELECT id FROM usuarios
WHERE id NOT IN (SELECT usuario_id FROM assinaturas WHERE ativa = TRUE)

Imagine uma regra que libera o acesso a quem é admin ou tem a conta ativa e bloqueia todos os demais. Escrita diretamente, a condição de bloqueio é a negação da condição de acesso:

if not (is_admin or is_active):
    block_access()

Pela Primeira Lei de De Morgan, a mesma condição pode ser reescrita como “não é admin e a conta não está ativa”:

if not is_admin and not is_active:
    block_access()

As duas formas são logicamente equivalentes. A primeira deixa à vista a regra de acesso que está sendo negada; a segunda lista, uma a uma, as condições que levam ao bloqueio. Qual lê melhor depende de como a regra foi pensada.

Se \(U = \{1,2,3,4,5\}\), \(A = \{1,2,3\}\) e \(B = \{2,3,4\}\), então \(\bar{B} = \{1,5\}\), e:

Sejam \(U = \{0,1,2,3,4\}\), \(A = \{0,4\}\), \(B = \{0,1,2,3\}\), \(C = \{1,4\}\), \(D = \{0,1\}\).

Determine: (a) \(A \cup B\)   (b) \(B \cap C\)   (c) \(A \cap B\)   (d) \(A \cup (B \cap C)\)   (e) \((A \cup B) \cap (A \cup C)\)

(f) \(\overline{(A \cap B)} \cup \overline{(A \cap C)}\)   (g) \(\overline{A \cup B}\)   (h) \(A - B\)   (i) \(B - A\)   (j) \(A \cup (B \cap C \cap D)\)

Soluções:

(a) \(A \cup B = \{0,1,2,3,4\} = U\)

(b) \(B \cap C = \{1\}\)

(c) \(A \cap B = \{0\}\)

(d) \(A \cup (B \cap C) = \{0,4\} \cup \{1\} = \{0,1,4\}\)

(e) \((A \cup B) \cap (A \cup C) = U \cap \{0,1,4\} = \{0,1,4\}\) — observe que é igual a (d), confirmando a distributividade.

(f) \(\overline{A \cap B} = U - \{0\} = \{1,2,3,4\}\); \(\overline{A \cap C} = U - \{4\} = \{0,1,2,3\}\); logo a união é \(\{0,1,2,3,4\} = U\).

(g) \(A \cup B = U\), portanto \(\overline{A \cup B} = \emptyset\).

(h) \(A - B = \{4\}\) (o 0 está em \(B\), o 4 não)

(i) \(B - A = \{1,2,3\}\)

(j) \(B \cap C \cap D = \{0,1\} \cap \{1\} = \{1\}\) (interseção de \(B\), \(C\) e \(D\)), então \(A \cup \{1\} = \{0,1,4\}\).

A diferença simétrica \(A \mathbin{\Delta} B\) é definida como:

Interprete essa operação geometricamente e determine \(A \mathbin{\Delta} B\) para \(A = \{0,4\}\) e \(B = \{0,1,2,3\}\).

Solução: A diferença simétrica retém os elementos que pertencem a exatamente um dos dois conjuntos — excluindo a interseção. Visualmente, no diagrama de Venn, é a área dos dois círculos excluindo a sobreposição. Em linguagem booleana, isso corresponde ao operador XOR (ou “ou exclusivo”, \(\oplus\)); se quiser rever essa conexão, vale voltar ao artigo sobre Álgebra Booleana.

Uma analogia visual útil: git diff destaca linhas removidas como \(A - B\), linhas adicionadas como \(B - A\) e, em conjunto, tudo o que mudou como \(A \mathbin{\Delta} B\). É apenas uma analogia: o diff preserva ordem e contexto.

\(A - B = \{4\}\), \(B - A = \{1,2,3\}\), portanto \(A \mathbin{\Delta} B = \{1,2,3,4\}\).

Descreva como seria o diagrama de Euler de cada situação — o desenho que mostra apenas as regiões que podem ter elementos:

(i) \(A \subset B \subset C\)

(ii) \(A \cap B = \emptyset\), \(A \cap C = \emptyset\), \(B \cap C = \emptyset\)

(iii) \(A \subseteq B \cup C\)

(iv) \(A \subseteq \bar{B}\)

(v) \(A \subseteq B - C\)

Soluções: as cinco figuras a seguir são diagramas de Euler — cada uma omite as regiões que a condição obriga a ficarem vazias.

(i) Três círculos concêntricos: \(A\) mais interno, \(B\) ao meio, \(C\) mais externo.

(ii) Três círculos completamente disjuntos dentro do retângulo \(U\) — nenhum se toca.

(iii) O círculo de \(A\) está inteiramente dentro da região coberta por \(B \cup C\). Parte de \(A\) pode estar em \(B\), parte em \(C\), parte na interseção — mas nenhuma parte de \(A\) fica fora de \(B \cup C\).

(iv) \(A \subseteq \bar{B}\) significa que nenhum elemento de \(A\) está em \(B\): os círculos de \(A\) e \(B\) são disjuntos.

(v) \(A \subseteq B - C\) significa que \(A\) está na parte de \(B\) que não pertence a \(C\): o círculo de \(A\) está dentro de \(B\) e completamente fora de \(C\).

As mesmas situações em diagramas de Venn. No sentido estrito, as oito regiões de três conjuntos ficam sempre desenhadas, e as que a condição obriga a ficarem vazias aparecem hachuradas na figura abaixo. Em (i), por exemplo, \(A \subset B\) esvazia tudo o que está em \(A\) e fora de \(B\) (regiões 1 e 5), e \(B \subset C\) esvazia tudo o que está em \(B\) e fora de \(C\) (regiões 2 e 4). O hachurado só registra o que precisa estar vazio: o fato de as inclusões serem estritas — haver elemento de \(B\) fora de \(A\) e de \(C\) fora de \(B\) — não aparece no desenho.